设 $\overrightarrow{e}_1,\overrightarrow{e}_2$ 是两个单位向量，$x,y$ 是实数．若 $\overrightarrow{e}_1$ 与 $\overrightarrow{e}_2$ 的夹角是 $\dfrac{\pi}3$，$\left|x\overrightarrow{e}_1+y\overrightarrow{e}_2\right|=1$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
BD
【解析】
根据题意，条件\[\left|x\overrightarrow{e}_1+y\overrightarrow{e}_2\right|=1\]等价于\[x^2+y^2+xy=1,\]于是\[\left(y+\dfrac x2\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt 3}2x\right)^2=1,\]于是 $x$ 的最大值为 $\dfrac{2\sqrt 3}{3}$，选项 A 错误，选项 B 正确．
又\[x+y=1\cdot \left(y+\dfrac x2\right)+\dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot \dfrac{\sqrt 3}2x\leqslant \sqrt{\dfrac 43}=\dfrac{2\sqrt 3}3,\]等号当 $x=y=\dfrac{\sqrt 3}3$ 时取得，选项 C 错误，选项 D 正确．
又\[x+y=1\cdot \left(y+\dfrac x2\right)+\dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot \dfrac{\sqrt 3}2x\leqslant \sqrt{\dfrac 43}=\dfrac{2\sqrt 3}3,\]等号当 $x=y=\dfrac{\sqrt 3}3$ 时取得，选项 C 错误，选项 D 正确．
题目
答案
解析
备注
