若 $f_0\left(x\right)=\sin x$，$f_1\left(x\right)=f'_0\left(x\right)$，$f_2\left(x\right)=f'_1\left(x\right)$，$\cdots$，$f_{n+1}\left(x\right)=f'_n\left(x\right)\left(n\in\mathbb {N}\right)$，则 $f'_{2009}\left(x\right)= $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题意，有\[f_{k}(x)=\begin{cases}\sin x,& k\equiv 0\pmod 4,\\
\cos x,& k\equiv 1\pmod 4,\\
-\sin x,& k\equiv 2\pmod 4,\\
-\cos x, & k\equiv 3 \pmod 4,\end{cases}\]于是\[f'_{2009}(x)=f_{2010}(x)=-\sin x.\]
\cos x,& k\equiv 1\pmod 4,\\
-\sin x,& k\equiv 2\pmod 4,\\
-\cos x, & k\equiv 3 \pmod 4,\end{cases}\]于是\[f'_{2009}(x)=f_{2010}(x)=-\sin x.\]
题目
答案
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