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设函数 $f'\left( x \right)$ 是函数 $f\left( x \right)\left( {x \in\mathbb R} \right)$ 的导函数，$f\left( 0 \right) = 1$，且 $3f\left( x \right) = f'\left( x \right) - 3$，则 $4f\left( x \right) > f'\left( x \right) $ 的解集为 \((\qquad)\)
A: $\left( {\dfrac{\ln 4}{3}, + \infty } \right)$
B: $\left( {\dfrac{\ln 2}{3}, + \infty } \right)$
C: $\left( {\dfrac{\sqrt 3 }{2} ,+ \infty } \right)$
D: $\left( {\dfrac{\sqrt {\mathrm e} }{3}, + \infty } \right)$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数的运算
    >
    导数公式
【答案】
B
【解析】
根据题意，有\[\dfrac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)+1}=3,\]所以\[\left[\ln \left(f\left(x\right)+1\right)\right]'=3,\]进而可得\[f\left(x\right)=\mathrm e^{3x+c}-1,\]又 $f\left( 0 \right) = 1$，所以\[ f\left(x\right)=2\mathrm e^{3x}-1,\]进而题中不等式即\[8\mathrm e^{3x}-4>6\mathrm e^{3x},\]解得 $ x>\dfrac{\ln 2}{3} $．
题目 答案 解析 备注
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