已知 $ \cos\left(75^\circ +\alpha\right)=\dfrac13 $，则 $ \sin\left(\alpha-15^\circ \right)+\cos\left(105^\circ -\alpha\right) $ 的值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}\sin\left(\alpha-15^\circ\right)+\cos\left(105^\circ-\alpha\right)
&=\sin\left[\left(75^\circ+\alpha\right)-90^\circ\right]+\cos\left[180^\circ-\left(75^\circ+\alpha\right)\right]
\\&=-\sin\left[90^\circ-\left(75^\circ+\alpha\right)\right]-\cos\left(75^\circ+\alpha\right)
\\&=-\cos\left(75^\circ+\alpha\right)-\cos\left(75^\circ+\alpha\right)
\\&=-2\cos\left(75^\circ+\alpha\right)\\
&=-\dfrac 23.\end{split}\]
&=\sin\left[\left(75^\circ+\alpha\right)-90^\circ\right]+\cos\left[180^\circ-\left(75^\circ+\alpha\right)\right]
\\&=-\sin\left[90^\circ-\left(75^\circ+\alpha\right)\right]-\cos\left(75^\circ+\alpha\right)
\\&=-\cos\left(75^\circ+\alpha\right)-\cos\left(75^\circ+\alpha\right)
\\&=-2\cos\left(75^\circ+\alpha\right)\\
&=-\dfrac 23.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
