以 $D$ 为坐标原点，$DA,DC,DD_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系，则\[D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D_1(0,0,1),M\left(1,1,\dfrac12\right),\]且平面 $ACD_1$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(1,1,1)$，平面 $MCD_1$ 法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(-1,2,2)$．
因此\[\cos\left\langle\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right\rangle=\dfrac {\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\dfrac{\sqrt3}{3},\]故二面角 $M-CD_1-A$ 的余弦值为 $\dfrac{\sqrt3}{3}$．