设复数 $z,w$ 满足：$|w+z|=1$，$|w^2+z^2|=4$，则 $|wz|$ 的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
BC
【解析】
根据题意，有\[4=\big|(z+w)^2-2zw\big|\leqslant |z+w|^2+2|zw|=1+2|zw|,\]于是 $|zw|\geqslant \dfrac 32$，当 $z,w$ 是关于 $x$ 的方程\[x^2-x-\dfrac 32=0\]的两根时有 $z+w=1$，$zw=-\dfrac 32$，上述不等式可以取得等号．因此 $|zw|$ 有最小值 $\dfrac 32$．
又\[|zw|=\dfrac 12\big|(z+w)^2-(z^2+w^2)\big|\leqslant \dfrac 12|z+w|^2+\dfrac 12\big|z^2+w^2\big|=\dfrac 52,\]当 $z,w$ 是关于 $x$ 的方程\[x^2-x+\dfrac 52=0\]的两根时有 $z+w=1$，$z^2+w^2=-4$，上述不等式可以取得等号．因此 $|zw|$ 有最大值 $\dfrac 52$．
又\[|zw|=\dfrac 12\big|(z+w)^2-(z^2+w^2)\big|\leqslant \dfrac 12|z+w|^2+\dfrac 12\big|z^2+w^2\big|=\dfrac 52,\]当 $z,w$ 是关于 $x$ 的方程\[x^2-x+\dfrac 52=0\]的两根时有 $z+w=1$，$z^2+w^2=-4$，上述不等式可以取得等号．因此 $|zw|$ 有最大值 $\dfrac 52$．
题目
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