如图，已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$，$E,F$ 分别是棱 $AD,B_1C_1$ 上的动点，设 $AE=x$，$B_1F=y$．若棱 $DD_1$ 与平面 $BEF$ 有公共点，则 $x+y$ 的值可以为 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
CD
【解析】
建立空间直角坐标系 $D-ACD_1$，则 $E(1-x,0,0)$，$B(1,1,0)$，$F(1-y,1,1)$，于是$$\overrightarrow{EB}=(x,1,0),\overrightarrow{FB}=(y,0,-1),$$可得平面 $BEF$ 的法向量为 $(-1,x,-y)$，设平面上一点为 $(r,s,t)$，则平面 $BEF$ 的方程为$$-r+xs-yt=x-1.$$根据题意，当 $r=s=0$ 时，$t\in\left[0,1\right]$，于是 $0\leqslant \dfrac{1-x}{y}\leqslant 1$，解得 $x+y\geqslant 1$．又 $0\leqslant x,y\leqslant 1$，于是 $x+y$ 的取值范围是 $[1,2]$．
题目
答案
解析
备注
