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已知 $\xi$ 为随机变量，则 \((\qquad)\)
A: $P\left(\left|\xi\right|\leqslant \dfrac 12\right)\leqslant P\left(\xi^2\leqslant \dfrac 12\right)$
B: $\left[E(\xi)\right]^2\leqslant E(\xi^2)$
C: $D(\xi)=D(1-\xi)$
D: $D(\xi^2)=D[(1-\xi)^2]$
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
  • 数学竞赛
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    计数与概率
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    计数与概率
  • 知识点
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    计数与概率
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    离散型随机变量
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    离散型随机变量的数字特征
  • 知识点
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    不等式
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    常用不等式
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    柯西不等式
【答案】
ABC
【解析】
选项 A，由于 $|\xi|\leqslant\dfrac 12\to \xi^2\leqslant \dfrac 12$，命题正确．
选项 B，因为$$D(\xi)=E\left((\xi-E(\xi))^2\right)=E(\xi^2)-[E(\xi)]^2\geqslant 0,$$所以命题正确．
选项 C，有$$D(1-\xi)=(-1)^2\cdot D(\xi)=D(\xi),$$命题正确．
选项 D，取 $P(\xi=-1)=P(\xi=1)=0.5$，则 $D(\xi^2)=0$，而 $D[(1-\xi)^2]\ne 0$．
题目 答案 解析 备注
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