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已知复数 $z$ 满足 $z+\dfrac 2z$ 是实数，则 $|z+{\mathrm i}|$ 的最小值等于 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{\sqrt 3}3$
B: $\dfrac{\sqrt 2}2$
C: $1$
D: 前三个答案都不对
【难度】
【出处】
2017年北京大学自主招生数学试题
【标注】
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【答案】
D
【解析】
设 $z$ 的模为 $r$，辐角为 $\theta$，则\[z+\dfrac 2z=\left(r+\dfrac 2r\right)\cos\theta+{\rm i}\left(r-\dfrac 2r\right)\sin\theta,\]因此 $r=\sqrt 2$ 或 $\theta=0$．
情形一当 $\theta=0$ 时，$z$ 所表示的点在实轴上运动，$|z+\mathrm{i}|$ 的最小值为 $1$；
情形二当 $r=\sqrt 2$ 时，$z$ 所表示的点在圆 $x^2+y^2=2$ 上运动，进而 $z+\mathrm{i}$ 的模的最小值为 $\sqrt 2-1$．
故所求的最小值是 $\sqrt 2-1$．
题目 答案 解析 备注
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