方程组 $\begin{cases}x+y^2=z^3,\\x^2+y^3=z^4,\\x^3+y^4=z^5\end{cases}$ 的实数解组数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年北京大学博雅计划试题
【标注】
【答案】
C
【解析】
顺次记方程组中的方程为 $(1),(2),(3)$，则 $(1)\cdot (3)-(2)^2$ 可得$$xy^2(x-y)^2=0,$$从而 $x=0$ 或 $y=0$ 或 $x=y$．
情形一 $x=0$ 或 $y=0$．
此时可得 $(x,y,z)=(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(-1,0,-1)$．
情形二 $x=y$ 且 $xy\neq 0$．
此时可得 $(x,y,z)=(-1,-1,0),\left(\dfrac{1+\sqrt 5}2,\dfrac{1+\sqrt 5}2,\dfrac{1+\sqrt 5}2\right),\left(\dfrac{1-\sqrt 5}2,\dfrac{1-\sqrt 5}2,\dfrac{1-\sqrt 5}2\right)$．
综上所述，原方程有 $7$ 组实数解．
此时可得 $(x,y,z)=(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(-1,0,-1)$．
此时可得 $(x,y,z)=(-1,-1,0),\left(\dfrac{1+\sqrt 5}2,\dfrac{1+\sqrt 5}2,\dfrac{1+\sqrt 5}2\right),\left(\dfrac{1-\sqrt 5}2,\dfrac{1-\sqrt 5}2,\dfrac{1-\sqrt 5}2\right)$．
综上所述，原方程有 $7$ 组实数解．
题目
答案
解析
备注
