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对任意复数 ${\omega_1},{\omega_2}$，定义 ${\omega_1} * {\omega_2} = {\omega_1}\overline {{\omega}_2}$，其中 $\overline {{\omega}_2}$ 是 ${\omega_2}$ 的共轭复数，对任意复数 ${z_1},{z_2},{z_3}$ 有如下四个命题：
① $\left( {{z_1} + {z_2}} \right) * {z_3} = \left({z_1} * {z_3}\right) + \left({z_2} * {z_3}\right)$；
② ${z_1} * \left({z_2} + {z_3}\right) = \left({z_1} * {z_2}\right) + \left({z_1} * {z_3}\right)$；
③ $\left( {{z_1} * {z_2}} \right) * {z_3} = {z_1} * \left({z_2} * {z_3}\right)$；
④ ${z_1} * {z_2} = {z_2} * {z_1}$，
则真命题的个数是 \((\qquad)\)
A: $1$
B: $2$
C: $3$
D: $4$
【难度】
【出处】
2014年高考广东卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    复数
    >
    复数的运算
    >
    共轭复数
  • 题型
    >
    复数
    >
    复数创新题
【答案】
B
【解析】
根据题中对“$*$”运算的定义，以及复数的共轭运算与复数的四则运算可以任意交换顺序，可得：
命题 ① 中的等式左右两边均为 $z_1\overline{ z_3}+z_2\overline {z_3}$；
命题 ② 中等式左右两边均为 $z_1\overline {z_2}+z_1\overline {z_3}$；
命题 ③ 中等式左边为 $z_1\overline {z_2}\overline {z_3}$，等式右边为 $z_1\overline {z_2}z_3$；
命题 ④ 中等式左边为 $z_1\overline {z_2}$，等式右边为 $z_2\overline {z_1}$．
因此只有命题 ① 和命题 ② 是真命题．
题目 答案 解析 备注
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