设非负实数 $x,y,z$ 满足 $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{27}{4}$，
则 $x+y+z$ 的 \((\qquad)\)
则 $x+y+z$ 的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
由柯西不等式可知，当且仅当 $(x,y,z)=\left(1,\dfrac{1}{2},0\right)$ 时，$x+y+z$ 取到最大值 $\dfrac{3}{2}$．
$x+y+z$ 的最小值为 $\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}$，证明如下．
根据题意，有$$x^2+y^2+z^2+x+2y+3z=\dfrac{13}4,$$于是$$\dfrac{13}4\leqslant (x+y+z)^2+3(x+y+z),$$解得$$x+y+z\geqslant \dfrac{\sqrt {22}-3}2,$$于是 $x+y+z$ 的最小值当 $(x,y,z)=\left(0,0,\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}\right)$ 时取得，为 $\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}$．
$x+y+z$ 的最小值为 $\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}$，证明如下．
根据题意，有$$x^2+y^2+z^2+x+2y+3z=\dfrac{13}4,$$于是$$\dfrac{13}4\leqslant (x+y+z)^2+3(x+y+z),$$解得$$x+y+z\geqslant \dfrac{\sqrt {22}-3}2,$$于是 $x+y+z$ 的最小值当 $(x,y,z)=\left(0,0,\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}\right)$ 时取得，为 $\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}$．
题目
答案
解析
备注
