若三角形的面积为有理数，三条边的长度都是整数，则其一条边的长度可以是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
CD
【解析】
设满足题意的三角形 $ABC$ 的三条边分别为 $a,b,c$ 且 $a\leqslant b \leqslant c$，则根据海伦公式，三角形 $\triangle ABC$ 的面积\[S=\dfrac 12\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)},\]于是问题转化为$$M=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$$为平方数．
对于选项A，若 $a=1$，此时 $(b,c)=(n,n)$，于是\[M=(2n+1)(2n-1)=4n^2-1,\]而\[4n^2-1\equiv 3\pmod 4,\]因此 $M$ 不是平方数．
对于选项B，若 $a=2$，此时 $(b,c)=(n,n)$ 或 $(b,c)=(n,n+1)$．
当 $(b,c)=(n,n)$ 时，有\[M=4(2n+2)(2n-2)=16\left(n^2-1\right),\]而\[n^2-1\equiv 3\pmod 4,\]因此 $M$
不是平方数；
当 $(b,c)=(n,n+1)$ 时，有\[M=3(2n+3)(2n-1)=12n^2+12n-9,\]而\[12n^2+12n-9\equiv 3\pmod 4,\]因此 $M$ 不是平方数．
对于选项C和D，考虑到 $(a,b,c)=(3,4,5)$ 时，$S=6$ 为有理数，因此选项C和D正确．
对于选项A，若 $a=1$，此时 $(b,c)=(n,n)$，于是\[M=(2n+1)(2n-1)=4n^2-1,\]而\[4n^2-1\equiv 3\pmod 4,\]因此 $M$ 不是平方数．
对于选项B，若 $a=2$，此时 $(b,c)=(n,n)$ 或 $(b,c)=(n,n+1)$．
当 $(b,c)=(n,n)$ 时，有\[M=4(2n+2)(2n-2)=16\left(n^2-1\right),\]而\[n^2-1\equiv 3\pmod 4,\]因此 $M$
不是平方数；
当 $(b,c)=(n,n+1)$ 时，有\[M=3(2n+3)(2n-1)=12n^2+12n-9,\]而\[12n^2+12n-9\equiv 3\pmod 4,\]因此 $M$ 不是平方数．
对于选项C和D，考虑到 $(a,b,c)=(3,4,5)$ 时，$S=6$ 为有理数，因此选项C和D正确．
题目
答案
解析
备注
