已知 $x,y$ 满足约束条件 $\begin{cases}
x - y - 1 \leqslant 0, \\
2x - y - 3 \geqslant 0, \\
\end{cases}$ 当目标函数 $z = ax + by\left(a > 0,b > 0\right)$ 在该约束条件下取到最小值 $2\sqrt 5$ 时，${a^2}+{b^2}$ 的最小值为 \((\qquad)\)
x - y - 1 \leqslant 0, \\
2x - y - 3 \geqslant 0, \\
\end{cases}$ 当目标函数 $z = ax + by\left(a > 0,b > 0\right)$ 在该约束条件下取到最小值 $2\sqrt 5$ 时，${a^2}+{b^2}$ 的最小值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考山东卷（文）
【标注】
【答案】
B
【解析】
画出平面区域，如图．
由于 $a>0$，$b>0$，因此 $ax+by$ 在 $(2,1)$ 处取得最小值，此时有 $2a+b=2\sqrt 5$，又$$2a+b=(2,1)\cdot (a,b)\leqslant \sqrt{2^2+1^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt 5\cdot\sqrt{a^2+b^2},$$从而 $a^2+b^2\geqslant 4$，当且仅当 $(a,b)$ 与 $(2,1)$ 同向时取得等号，因此 $a^2+b^2$ 的最小值为 $4$．
由于 $a>0$，$b>0$，因此 $ax+by$ 在 $(2,1)$ 处取得最小值，此时有 $2a+b=2\sqrt 5$，又$$2a+b=(2,1)\cdot (a,b)\leqslant \sqrt{2^2+1^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt 5\cdot\sqrt{a^2+b^2},$$从而 $a^2+b^2\geqslant 4$，当且仅当 $(a,b)$ 与 $(2,1)$ 同向时取得等号，因此 $a^2+b^2$ 的最小值为 $4$．
题目
答案
解析
备注
