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满足 $f(f(x))=f^4(x)$ 的实系数多项式 $f(x)$ 的个数为 \((\qquad)\)
A: $2$
B: $4$
C: 无穷多
D: 前三个答案都不对
【难度】
【出处】
2017年北京大学自主招生数学试题
【标注】
  • 数学竞赛
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    多项式
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    多项式
  • 知识点
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    函数
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    多项式函数
【答案】
D
【解析】
情形一 $f(x)$ 为常数函数，此时 $f(x)=0$ 和 $f(x)=1$ 符合题意．
情形二 $f(x)$ 不为常数函数，设 $f(x)$ 的值域为 $A$，则\[\forall x\in A,f(x)=x^4,\]因此 $f(x)=x^4$．
综上所述，符合题意的实系数多项式 $f(x)$ 的个数为 $3$．
题目 答案 解析 备注
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