设曲线 $L$ 的方程为 $y^4+\left(2x^2+2\right)y^2+\left(x^4-2x^2\right)=0$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
记 $f(x,y)=y^4+(2x^2+2)y^2+(x^4-2x^2)$，则
对于选项A、B，由于 $f(-x,y)=f(-x,-y)=f(x,y)$，于是 $L$ 既为轴对称图形，也为中心对称图形；
对于选项C，由于 $y^2=\sqrt{4x^2+1}-(x^2+1)$，令 $y=0$，可得 $x=\pm \sqrt 2,0$，因此选项C错误；
对于选项D，由于 $x^2=-y^2+1\pm\sqrt{-4y^2+1}$，于是 $-4y^2+1\geqslant 0$，即 $-\dfrac 12\leqslant y\leqslant \dfrac 12$．
事实上，该方程对应的曲线如图．
对于选项A、B，由于 $f(-x,y)=f(-x,-y)=f(x,y)$，于是 $L$ 既为轴对称图形，也为中心对称图形；
对于选项C，由于 $y^2=\sqrt{4x^2+1}-(x^2+1)$，令 $y=0$，可得 $x=\pm \sqrt 2,0$，因此选项C错误；
对于选项D，由于 $x^2=-y^2+1\pm\sqrt{-4y^2+1}$，于是 $-4y^2+1\geqslant 0$，即 $-\dfrac 12\leqslant y\leqslant \dfrac 12$．
事实上，该方程对应的曲线如图．
题目
答案
解析
备注
