整数 $x,y,z$ 满足 $xy+yz+zx=1$，则 $(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)$ 可能取到的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年北京大学自主选拔录取考试
【标注】
【答案】
A
【解析】
由 $xy+yz+zx=1$ 可得$$1+x^2=xy+yz+zx+x^2=(x+y)(z+x),$$于是$$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)=\left( (x+y)(y+z)(z+x)\right)^2.$$令$$\begin{cases}x+y=2,\\y+z=5,\\z+x=13,\end{cases}$$解得 $ $ \begin{cases}x=5,\\y=-3,\\z=8.\end{cases} $ $
经检验，$(x,y,z)=(5,-3,8)$ 满足题意，此时$$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)=16900.$$
经检验，$(x,y,z)=(5,-3,8)$ 满足题意，此时$$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)=16900.$$
题目
答案
解析
备注
