设 $n$ 是一个正整数，则函数 $f\left( x \right) = x + \dfrac{1}{{n{x^n}}}$，$x > 0$ 的最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
C
【解析】
取 $n = 1$ 验证即可．
C 的证明：\[\begin{split}x + \dfrac{1}{{n{x^n}}} & = \dfrac{x}{n} + \dfrac{x}{n} + \cdots + \dfrac{x}{n} + \dfrac{1}{{n{x^n}}} \\&\geqslant \left( {n + 1} \right){\left( {\dfrac{{{x^n}}}{{{n^{n + 1}}{x^n}}}} \right)^{\frac{1}{{n + 1}}}} \\& = \dfrac{{n + 1}}{n}.\end{split}\]
C 的证明：\[\begin{split}x + \dfrac{1}{{n{x^n}}} & = \dfrac{x}{n} + \dfrac{x}{n} + \cdots + \dfrac{x}{n} + \dfrac{1}{{n{x^n}}} \\&\geqslant \left( {n + 1} \right){\left( {\dfrac{{{x^n}}}{{{n^{n + 1}}{x^n}}}} \right)^{\frac{1}{{n + 1}}}} \\& = \dfrac{{n + 1}}{n}.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
