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已知函数 $f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} - 2x + 1$ 的一条切线经过点 $\left(-1,1\right)$ 且点 $\left(-1,1\right)$ 不是切点，则这条切线的斜率为 \((\qquad)\)
A: $1$
B: $-1$
C: $\dfrac{1}{2}$
D: $ - \dfrac{1}{2}$
【难度】
【出处】
2011年清华大学等七校联考自主招生试题
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的切线
【答案】
B
【解析】
设切点为 $\left( {{x_0}, f\left( {{x_0}} \right)} \right)$，则切线为$$y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),$$又点 $(-1,1)$ 在切线上，则$$1 - f\left( {{x_0}} \right)=f'\left( {{x_0}} \right)\left( { - 1 - {x_0}} \right),$$对原函数求导，并代入上式，解得 ${x_0} =-1$ 或 ${x_0} = 1$．
又点 $(-1,1)$ 不是切点，所以 $x_0=1$，所以切线的斜率为 $f'\left(1\right)=-1$．
题目 答案 解析 备注
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