对二次函数 $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$（$a$ 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
由于选项 B，C 都在描述二次函数顶点，于是优先将它们放在一起考虑．
情形 选项 B、C 同时正确
此时可以由二次函数的顶点式设其解析式为 $f(x)=a(x-1)^2+3$，若选项 A 正确，则 $a=-\dfrac 34$，与 $a$ 是非零整数的条件不符；若选项D正确，则 $a=5$，符合 $a$ 为非零整数的条件．
情形 选项 A、D 同时正确
此时应该从二次函数的零点出发考虑．
① 选项 C 显然不正确，因为 $f(-1)<3<f(2)$，于是 $3$ 一定不是二次函数 $f(x)$ 的极值；
② 若选项 B 正确，则另一个零点为 $3$，此时可由二次函数的两根式设其解析式为 $f(x)=a(x+1)(x-3)$，结合选项 D 正确可得 $a=-\dfrac 83$，与 $a$ 是非零整数的条件不符．
因此错误的结论是 A．
此时可以由二次函数的顶点式设其解析式为 $f(x)=a(x-1)^2+3$，若选项 A 正确，则 $a=-\dfrac 34$，与 $a$ 是非零整数的条件不符；若选项D正确，则 $a=5$，符合 $a$ 为非零整数的条件．
此时应该从二次函数的零点出发考虑．
① 选项 C 显然不正确，因为 $f(-1)<3<f(2)$，于是 $3$ 一定不是二次函数 $f(x)$ 的极值；
② 若选项 B 正确，则另一个零点为 $3$，此时可由二次函数的两根式设其解析式为 $f(x)=a(x+1)(x-3)$，结合选项 D 正确可得 $a=-\dfrac 83$，与 $a$ 是非零整数的条件不符．
因此错误的结论是 A．
题目
答案
解析
备注
