设直线 $l$ 与抛物线 $y^2=4x$ 相交于 $A$，$B$ 两点，与圆 $\left(x-5\right)^2+y^2=r^2$（$r>0$）相切于点 $M$，且 $M$ 为线段 $AB$ 的中点．若这样的直线 $l$ 恰有 $4$ 条，则 $r$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
如图，记圆心为 $C(5,0)$，设 $A\left(4a^2,4a\right)$，$B\left(4b^2,4b\right)$．
显然当 $r<5$ 时，都存在 $a+b=0$ 的两个平凡解（垂直于 $x$ 轴的两条切线），因此只需要考虑 $a+b\neq 0$ 的情形．
由于 $M\left(2\left(a^2+b^2\right),2(a+b)\right)$，于是根据 $AB$ 与圆 $C$ 相切于 $M$，可得$$\dfrac{2(a+b)-0}{2\left(a^2+b^2\right)-5}\cdot\dfrac{4a-4b}{4a^2-4b^2}=-1,$$即 $a^2+b^2=\dfrac 32$ \footnote{这样就得到了 $M$ 的横坐标为 $3$，接下来亦可借助几何直观思考}．于是$$r^2=CM^2=\left[2\left(a^2+b^2\right)-5\right]^2+\left[2(a+b)-0\right]^2=4+4(a+b)^2,$$由$$0<(a+b)^2<2\left(a^2+b^2\right)=3,$$得 $4<r^2<16$，即 $2<r<4$．
另一方面，对 $(2,4)$ 内的任意实数 $r$，方程组$$\begin{cases} a^2+b^2=\dfrac 32,\\4+4(a+b)^2=r^2,\end{cases}$$必然有四组解，它们对应 $2$ 条不同的直线 $l$，于是所求 $r$ 的取值范围是 $(2,4)$．
显然当 $r<5$ 时，都存在 $a+b=0$ 的两个平凡解（垂直于 $x$ 轴的两条切线），因此只需要考虑 $a+b\neq 0$ 的情形．由于 $M\left(2\left(a^2+b^2\right),2(a+b)\right)$，于是根据 $AB$ 与圆 $C$ 相切于 $M$，可得$$\dfrac{2(a+b)-0}{2\left(a^2+b^2\right)-5}\cdot\dfrac{4a-4b}{4a^2-4b^2}=-1,$$即 $a^2+b^2=\dfrac 32$ \footnote{这样就得到了 $M$ 的横坐标为 $3$，接下来亦可借助几何直观思考}．于是$$r^2=CM^2=\left[2\left(a^2+b^2\right)-5\right]^2+\left[2(a+b)-0\right]^2=4+4(a+b)^2,$$由$$0<(a+b)^2<2\left(a^2+b^2\right)=3,$$得 $4<r^2<16$，即 $2<r<4$．
另一方面，对 $(2,4)$ 内的任意实数 $r$，方程组$$\begin{cases} a^2+b^2=\dfrac 32,\\4+4(a+b)^2=r^2,\end{cases}$$必然有四组解，它们对应 $2$ 条不同的直线 $l$，于是所求 $r$ 的取值范围是 $(2,4)$．
题目
答案
解析
备注
