已知 $\alpha $，$\beta $，$\gamma $ 分别为某三角形中的三个内角且满足 $\tan \dfrac{{\alpha + \beta }}{2} = \sin \gamma $，则下列四个表达式
① $\tan \alpha \cdot \tan \beta = 1$；
② $0 < \sin \alpha + \sin \beta < \sqrt 2 $；
③ ${\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta = 1$；
④ ${\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta < {\sin ^2}\gamma $
中，恒成立的是 \((\qquad)\)
① $\tan \alpha \cdot \tan \beta = 1$；
② $0 < \sin \alpha + \sin \beta < \sqrt 2 $；
③ ${\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta = 1$；
④ ${\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta < {\sin ^2}\gamma $
中，恒成立的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2007年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
A
【解析】
因为 $\tan \dfrac{{\alpha + \beta }}{2} = \sin \gamma $，即$$\tan \dfrac{{\alpha + \beta }}{2} = \sin \left( {\alpha + \beta } \right) = 2\sin \dfrac{{\alpha + \beta }}{2} \cdot \cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2},$$而$$0 < \dfrac{{\alpha + \beta }}{2} < \dfrac{\mathrm {\pi }}{2},$$所以可化简得$$\cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},$$于是$$\alpha + \beta = \dfrac{\mathrm {\pi }}{2}.$$
题目
答案
解析
备注
