\item 设 ${S_n} = 1 + 2 + \cdots + n$，$n \in {{\mathbb{N}}_ + }$．则$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{2n{S_n}}}{{\left（{n + 32} \right）{S_{n + 1}}}} = \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
法 $1$
如图，复数 $m - 2{\mathrm {i}}$ 的幅角主值取值范围为 $\left( {{\mathrm {\pi }} , 2{\mathrm {\pi }}} \right)$，而复数 $1 + 2{\mathrm {i}}$ 的幅角主值为锐角，于是复数 $z$ 的幅角主值不可能落在第一象限，选{\rm A}．\begin{center} \end {center}法 $2$ {\qquad}由$$z = \dfrac{{\left( {m - 2{\mathrm {i}}} \right)\left( {1 - 2{\mathrm {i}}} \right)}}{5} = \dfrac{{\left( {m - 4} \right) -2 \left(m+1 \right){\mathrm {i}}}}{5}.$$当 $m < - 1$ 时，$z$ 位于第二象限；
当 $ - 1 < m < 4$ 时，$z$ 位于第三象限；
当 $m > 4$ 时，$z$ 位于第四象限；
综上，$z$ 不可能位于第一象限，选{\rm A}．
如图，复数 $m - 2{\mathrm {i}}$ 的幅角主值取值范围为 $\left( {{\mathrm {\pi }} , 2{\mathrm {\pi }}} \right)$，而复数 $1 + 2{\mathrm {i}}$ 的幅角主值为锐角，于是复数 $z$ 的幅角主值不可能落在第一象限，选{\rm A}．\begin{center} \end {center}法 $2$ {\qquad}由$$z = \dfrac{{\left( {m - 2{\mathrm {i}}} \right)\left( {1 - 2{\mathrm {i}}} \right)}}{5} = \dfrac{{\left( {m - 4} \right) -2 \left(m+1 \right){\mathrm {i}}}}{5}.$$当 $m < - 1$ 时，$z$ 位于第二象限；
当 $ - 1 < m < 4$ 时，$z$ 位于第三象限；
当 $m > 4$ 时，$z$ 位于第四象限；
综上，$z$ 不可能位于第一象限，选{\rm A}．
题目
答案
解析
备注
