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设 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，如果不等式 $2x^2+\sqrt3[x]+1>k$ 对于所有实数 $x$ 都成立，那么 $k$ 的最大值是  \((\qquad)\)
A: $\dfrac58$
B: $1-\sqrt3$
C: $2\sqrt3-1$
D: $1+\sqrt3$
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
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【答案】
B
【解析】
设 $f(x)=2x^2+\sqrt 3\cdot [x]+1$，关键是求 $f(x)$ 的最小值或下确界．对 $x$ 分段讨论：
情形一 当 $x\geqslant 0$ 时，有 $f(x)\geqslant 2x^2+1\geqslant 1$；
情形二 当 $x\in [-1,0)$ 时，$[x]=-1$，$f(x)=2x^2+1-\sqrt 3$，值域为 $(1-\sqrt 3,3-\sqrt 3]$；
情形三 当 $x<-1$ 时，$$f(x)>2x^2+\sqrt 3\cdot (x-1)+1=2x\left(x+\dfrac{\sqrt 3}2\right)+1-\sqrt 3>1-\sqrt 3.$$综上，$f(x)$ 有下确界 $1-\sqrt 3$，且无法取到，故 $k$ 的最大值为 $1-\sqrt 3$．
题目 答案 解析 备注
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