集合 $X$ 是实数集 ${\mathbb{R}}$ 的子集，如果点 ${x_0} \in {\mathbb{R}}$ 满足：对任意 $a > 0$，都存在 $x \in X$，使得 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < a$，那么称 ${x_0}$ 为集合 $X$ 的聚点．用 ${\mathbb{Z}}$ 表示整数集，则在下列集合：
① $\left\{ {\dfrac{n}{{n + 1}}\mid n \in {\mathbb{Z}},n \geqslant 0} \right\}$；② ${\mathbb{R}}
\backslash \left\{ 0 \right\}$；③ $\left\{ {\dfrac{1}{n}\mid n \in {\mathbb{Z}},n \ne 0} \right\}$；④ ${\mathbb{Z}}$
中，以 $0$ 为聚点的集合有 \((\qquad)\)
① $\left\{ {\dfrac{n}{{n + 1}}\mid n \in {\mathbb{Z}},n \geqslant 0} \right\}$；② ${\mathbb{R}}
\backslash \left\{ 0 \right\}$；③ $\left\{ {\dfrac{1}{n}\mid n \in {\mathbb{Z}},n \ne 0} \right\}$；④ ${\mathbb{Z}}$
中，以 $0$ 为聚点的集合有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
A
【解析】
聚点的概念可以理解为在 ${x_0}$ 的任意 $a$ 邻域内都有 $X$ 中的元素．
对 ①④，取 $a=\dfrac12$，从而 ①④ 不符合条件；
对 ②③，容易验证 $0$ 是其聚点．
对 ①④，取 $a=\dfrac12$，从而 ①④ 不符合条件；
对 ②③，容易验证 $0$ 是其聚点．
题目
答案
解析
备注
