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在 $xOy$ 坐标平面上给定点 $A\left( {1,2} \right)$，$B\left( {2,3} \right)$，$C\left( {2,1} \right)$，矩阵 $\begin{bmatrix}2&k \\
- 1&1 \\ \end{bmatrix}$ 将向量 $\overrightarrow {OA} $，$\overrightarrow {OB} $，$\overrightarrow {OC} $ 分别变换成向量 $\overrightarrow {OA'} $，$\overrightarrow {OB'} $，$\overrightarrow {OC'} $．如果它们的终点 $A'$，$B'$，$C'$ 连线构成直角三角形，斜边为 $B'C'$，则 $k$ 的值为 \((\qquad)\)
A: $ \pm 2$
B: $2$
C: $0$
D: $- 2$
【难度】
【出处】
2010年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    坐标变换
    >
    矩阵与行列式?
【答案】
D
【解析】
因为 $\triangle ABC$ 为直角三角形，斜边为 $BC$，结合题意知，矩阵 $\begin{bmatrix}2&k \\
- 1&1 \\ \end{bmatrix}$ 的行列式必为 $0$，因此 $k=-2$．
题目 答案 解析 备注
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