当不等式 ${\tan ^2}\left( {\cos \sqrt {4{{\mathrm{\pi }}^2} - {x^2}} } \right) - 4a\tan \left( {\cos \sqrt {4{{\mathrm{\pi }}^2} - {x^2}} } \right) + 2 + 2a \leqslant 0$ 关于 $x$ 有有限个解时，$a$ 的取值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
C
【解析】
令 $t = \tan \left( {\cos \sqrt {4{{\mathrm{\pi }}^2} - {x^2}} } \right)$，则原问题转化为不等式$${t^2} - 4at + 2 + 2a \leqslant 0$$在 $t \in \left[ { - \tan 1,\tan 1} \right]$ 内只有有限个解．计算不等式对应的一元二次方程的判别式$$\Delta =16a^2-8(a+1)=8(a-1)(2a+1).$$对应三种情形：
情形一 $\Delta = 0$ 时，解得 $a=1$ 或 $a=-\dfrac 12$，此时需要对称轴在 $\left[ { - \tan 1,\tan 1} \right]$ 上，所以 $a=-\dfrac 12$；
情形二 若 $\Delta > 0$ 且 $a>1$，对称轴在 $x = \tan 1$ 右侧，此时需要 $\tan 1$ 是一根，解得 $a=\dfrac{\tan^2 1+2}{4\tan 1-2}$，满足 $2a>\tan 1$；
情形三 若 $\Delta > 0$ 且 $a<-\dfrac 12$，则 $ - \tan 1$ 是一根，且对称轴在 $x = - \tan 1$ 左侧，解得 $a=\dfrac{\tan^2 1+2}{-2(2\tan 1+1)}$，不满足 $2a<-\tan 1$．
综上知，满足条件的 $a$ 有两个．
综上知，满足条件的 $a$ 有两个．
题目
答案
解析
备注
