已知数列 $1$，$101$，$10101$，$1010101$，$\cdots$．则该数列中的素数项有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
容易知道 $a_n=\dfrac {100^n-1}{99}$．
情形一：当 $n=2k$ 时，$$a_n=\dfrac {100^{2k}-1}{99}=\dfrac {(100^k-1)(100^k+1)}{99},$$因为 $99|(100^k-1)$，所以&emsp；$99|a_n$，进而 $k>1$ 时 $a_n$ 是合数．
特别的，当 $k=1$ 时，$a_2=101$ 是素数．
情形二：当 $n=2k+1$ 时，$$a_n=\dfrac {10^{2k+1}-1}{9} \cdot \dfrac {10^{2k+1}+1}{11}=\dfrac {1-10^{2k+1} }{1-10}\cdot \dfrac {1-(-10)^{2k+1} }{1-(-10)},$$所以当 $k>0$ 时 $a_n$ 是合数．
特别的，当 $k=0$ 时，$a_1=1$ 既不是素数也不是合数．
情形一：当 $n=2k$ 时，$$a_n=\dfrac {100^{2k}-1}{99}=\dfrac {(100^k-1)(100^k+1)}{99},$$因为 $99|(100^k-1)$，所以&emsp；$99|a_n$，进而 $k>1$ 时 $a_n$ 是合数．
特别的，当 $k=1$ 时，$a_2=101$ 是素数．
情形二：当 $n=2k+1$ 时，$$a_n=\dfrac {10^{2k+1}-1}{9} \cdot \dfrac {10^{2k+1}+1}{11}=\dfrac {1-10^{2k+1} }{1-10}\cdot \dfrac {1-(-10)^{2k+1} }{1-(-10)},$$所以当 $k>0$ 时 $a_n$ 是合数．
特别的，当 $k=0$ 时，$a_1=1$ 既不是素数也不是合数．
题目
答案
解析
备注
