若 $f$ 满足 $f(x+y^2)=f(x)+2f^2(y)$ 且 $f(1)\neq 0$，则 $f(2007)$ 的值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2007年第十八届"希望杯"全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
分别令 $(x,y)=(0,0),(0,1)$，可得\[\begin{cases} f(0)=f(0)+2f^2(0),\\
f(1)=f(0)+2f^2(1),\end{cases}\]解得 $f(0)=0$，$f(1)=\dfrac 12$．因此有\[f(x+1)=f(x)+2f^2(1)=f(x)+\dfrac 12,\]于是\[f(2007)=\dfrac{2007}2.\]
f(1)=f(0)+2f^2(1),\end{cases}\]解得 $f(0)=0$，$f(1)=\dfrac 12$．因此有\[f(x+1)=f(x)+2f^2(1)=f(x)+\dfrac 12,\]于是\[f(2007)=\dfrac{2007}2.\]
题目
答案
解析
备注
