函数 $f\left( x \right) = a{x^m}{\left( {1 - x} \right)^n}$ 在区间 $\left[ {0,1} \right]$ 上的图象如图所示，则 $m$，$n$ 的值可能是 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
由图象可知，函数在区间 $\left( {0,0.5} \right)$ 上有极大值，又\[\begin{split}f'\left( x \right) &= am{x^{m - 1}}{\left( {1 - x} \right)^n} - an{x^m}{\left( {1 - x} \right)^{n - 1}}\\
& = a{x^{m - 1}}{\left( {1 - x} \right)^{n - 1}}\left[ {m - \left( {m + n} \right)x} \right],\end{split}\]则极值点为 $\dfrac{m}{m + n} \in \left( {0,\dfrac{1}{2}} \right)$，由此可选出正确选项．
其他解法：
利用对称思想可知当 $0 < x < 0.5$ 时，$f\left( x \right) > f\left( {1 - x} \right)$，如图．
即 $a{x^m}{\left( {1 - x} \right)^n} > a{\left( {1 - x} \right)^m}{x^n}$．
考虑到 $a > 0$，于是 ${x^{m - n}} > {\left( {1 - x} \right)^{m - n}}$
由于当 $0 < x < 0.5$ 时，$x < 1 - x$，所以 $m - n < 0$，排除A、C、D；选B．
& = a{x^{m - 1}}{\left( {1 - x} \right)^{n - 1}}\left[ {m - \left( {m + n} \right)x} \right],\end{split}\]则极值点为 $\dfrac{m}{m + n} \in \left( {0,\dfrac{1}{2}} \right)$，由此可选出正确选项．
其他解法：
利用对称思想可知当 $0 < x < 0.5$ 时，$f\left( x \right) > f\left( {1 - x} \right)$，如图．
即 $a{x^m}{\left( {1 - x} \right)^n} > a{\left( {1 - x} \right)^m}{x^n}$．考虑到 $a > 0$，于是 ${x^{m - n}} > {\left( {1 - x} \right)^{m - n}}$
由于当 $0 < x < 0.5$ 时，$x < 1 - x$，所以 $m - n < 0$，排除A、C、D；选B．
题目
答案
解析
备注
