设平面点集 $A = \left\{ {\left(x , y\right)\left| {\left(y - x\right)\left( {y - \dfrac{1}{x}} \right) \geqslant 0} \right.} \right\}$，$B = \left\{ {\left(x , y\right)\left| {{{\left(x - 1\right)}^2} + {{\left(y - 1\right)}^2} \leqslant 1} \right.} \right\}$，则 $A \cap B$ 所表示的平面图形的面积为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
由 $\left(y - x\right)\left(y - \dfrac{1}{x}\right) \geqslant 0$，可知 ${\begin{cases}
y - x \geqslant 0 \\
y - \dfrac{1}{x} \geqslant 0 \\
\end{cases}}$，或者 ${\begin{cases}y - x \leqslant 0 \\
y - \dfrac{1}{x} \leqslant 0 \\
\end{cases}}$．
在同一坐标系中做出平面区域，如图，$A \cap B$ 的区域为阴影部分
根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为 $\dfrac{\mathrm \pi }{2}$．
y - x \geqslant 0 \\
y - \dfrac{1}{x} \geqslant 0 \\
\end{cases}}$，或者 ${\begin{cases}y - x \leqslant 0 \\
y - \dfrac{1}{x} \leqslant 0 \\
\end{cases}}$．
在同一坐标系中做出平面区域，如图，$A \cap B$ 的区域为阴影部分
根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为 $\dfrac{\mathrm \pi }{2}$．
题目
答案
解析
备注
