实验室里有一架不等臂天平：同学甲说：分别把所称物体放在左右两个盘中各称一次，则两次称得的质量的平均数就等于被称物体的真实质量；同学乙说：将一个物体放到左盘称得的质量是 $1$ 千克，将另一个物体放到右盘中，称得的质量也是 $1$ 千克，则这两个物体的质量之和的真实值是 $2$ 千克．甲，乙的判断中 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
设天平左右两臂长分别为 $a,b$（$a\ne b$）．
对于甲：将质量为 $m$ 的物体放入左边时，设称得的质量为 $x$，则$$x=\dfrac{ma}{b}.$$同理，将质量为 $m$ 的物体放入右边时，设称得的质量为 $y$，则$$y=\dfrac{mb}{a}.$$因此两次称得的质量的平均数为$$\dfrac{x+y}{2}=\dfrac m2\left(\dfrac ab+\dfrac ba\right)>m,$$所以甲的判断不对；
对于乙：若物体放入左盘时称得的质量为 $1$ $\rm kg$，设其真实质量为 $x$，则$$x=\dfrac ab;$$若物体放入右盘时称得的质量为 $1$ $\rm kg$，设其真实质量为 $y$，则$$y=\dfrac ba.$$所以两物体质量之和的真实值$$x+y=\dfrac ab+\dfrac ba>2,$$所以乙的判断不对．
对于甲：将质量为 $m$ 的物体放入左边时，设称得的质量为 $x$，则$$x=\dfrac{ma}{b}.$$同理，将质量为 $m$ 的物体放入右边时，设称得的质量为 $y$，则$$y=\dfrac{mb}{a}.$$因此两次称得的质量的平均数为$$\dfrac{x+y}{2}=\dfrac m2\left(\dfrac ab+\dfrac ba\right)>m,$$所以甲的判断不对；
对于乙：若物体放入左盘时称得的质量为 $1$ $\rm kg$，设其真实质量为 $x$，则$$x=\dfrac ab;$$若物体放入右盘时称得的质量为 $1$ $\rm kg$，设其真实质量为 $y$，则$$y=\dfrac ba.$$所以两物体质量之和的真实值$$x+y=\dfrac ab+\dfrac ba>2,$$所以乙的判断不对．
题目
答案
解析
备注
