将方程化为 $y=\dfrac{b^2}ax^2+\dfrac{c}a$，方程表示抛物线，则 $a\ne0$，$b\ne0$．
当 $c=0$ 时，$a$，$b$ 的取值在 $\left\{-3,-2,1,2,3\right\}$ 中取，当 $a=1$ 时，$b^2$ 有 $2$ 种不同的值；当 $a=-2$ 时，$b^2$ 有 $3$ 种不同的值；同理当 $a=2$，$a=3$，$a=-3$ 各有 $3$ 种不同的值，所以当 $c=0$ 时，有 $4\times3+2=14$ 种方法；
当 $c\ne 0$ 时，$a$，$b$，$c $ 的取值在 $\left\{-3,-2,1,2,3\right\}$ 中选取，则有 ${\mathrm{A}}_5^3=60$ 种，当 $ \dfrac{c}{a} $ 一定时，$b$ 的取值互为相反数时，表示同一条抛物线，有 $4{\mathrm{A}}_3^2=24$ 种，重复的有 $12$ 种，所以当 $c\ne0$ 时，抛物线的条数为 $60-12=48$，
所以方程 $ay=b^2x^2+c $ 所表示的抛物线的条数一共有 $48+14=62$ 条．