设函数 $f\left(x\right) = 2x - \cos x$，$\left\{ {a_n}\right\} $ 是公差为 $\dfrac{\mathrm \pi} {8}$ 的等差数列，$f\left({a_1}\right) + f\left({a_2}\right) + \cdots + f\left({a_5}\right) = 5{\mathrm \pi} $，则 ${\left[ {f\left({a_3}\right)} \right]^2} - {a_1}{a_5} = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
因为 $\left\{ {a_n}\right\} $ 是公差为 $\dfrac{\mathrm \pi} {8}$ 的等差数列，当 $a_3=\dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 时，$a_1=\dfrac{\mathrm \pi} {2}-\dfrac{\mathrm \pi} {4}$，$a_2=\dfrac{\mathrm \pi} {2}-\dfrac{\mathrm \pi} {8}$，$a_4=\dfrac{\mathrm \pi} {2}+\dfrac{\mathrm \pi} {8}$，$a_5=\dfrac{\mathrm \pi} {2}+\dfrac{\mathrm \pi} {4}$，所以 $2\left(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\right)=5{\mathrm \pi} $，$\cos {a_1}+\cos {a_5}=\cos {a_2}+\cos {a_4}=\cos {a_3}=0$，所以 $f\left(a_1\right)+f\left(a_2\right)+f\left(a_3\right)+f\left(a_4\right)+f\left(a_5\right)=5{\mathrm \pi} $，又 $f'\left(x\right)=2+\sin x>0$，所以 $f(x)$ 是单调递增函数，所以 $a_3=\dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 是满足条件的唯一值．
题目
答案
解析
备注
