若 $a\in\mathbb R$，直线 $(1-a)x+(1+a)y-4(a+1)=0$ 恒过定点 $P$，则当点 $Q$ 在曲线 $x^2-xy+1=0$ 上运动时，$PQ$ 直线的斜率的取值范围为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
直线方程可化为$$(-x+y-4)a+(x+y-4)=0,$$由 $a\in\mathbb R$，有$$\begin{cases} -x+y-4=0,\\
x+y-4=0,\end{cases}$$解得$$(x,y)=(0,4),$$所以直线过定点 $P(0,4)$，可设直线 $PQ$ 的的方程为$$y=kx+4,$$与曲线 $x^2-xy+1=0$ 联立消去 $y$ 可得$$(1-k)x^2-4x+1=0,$$情形一 当 $k=1$，显然有解；
情形二 当 $k\neq 1$，由 $\Delta \geqslant 0$，解得 $k\geqslant -3$．
综上，$PQ$ 直线的斜率的取值范围为 $[-3,+\infty)$．
x+y-4=0,\end{cases}$$解得$$(x,y)=(0,4),$$所以直线过定点 $P(0,4)$，可设直线 $PQ$ 的的方程为$$y=kx+4,$$与曲线 $x^2-xy+1=0$ 联立消去 $y$ 可得$$(1-k)x^2-4x+1=0,$$
综上，$PQ$ 直线的斜率的取值范围为 $[-3,+\infty)$．
题目
答案
解析
备注
