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设 $\left\{ {a_n}\right\} $ 是各项为正数的无穷数列，${A_i}$ 是边长为 ${a_i},{a_{i + 1}}$ 的矩形的面积（$i = 1,2, \cdots $），则 $\left\{ {A_n}\right\} $ 为等比数列的充要条件是 \((\qquad)\)
A: $\left\{ {a_n}\right\} $ 是等比数列
B: ${a_1},{a_3}, \cdots ,{a_{2n - 1}}, \cdots $ 或 ${a_2},{a_4}, \cdots ,{a_{2n}}, \cdots $ 是等比数列
C: ${a_1},{a_3}, \cdots ,{a_{2n - 1}}, \cdots $ 和 ${a_2},{a_4}, \cdots ,{a_{2n}}, \cdots $ 均是等比数列
D: ${a_1},{a_3}, \cdots ,{a_{2n - 1}}, \cdots $ 和 ${a_2},{a_4}, \cdots ,{a_{2n}}, \cdots $ 均是等比数列，且公比相同
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
由题可知，$A_i=a_ia_{i+1}$，由数列 $\left\{A_n\right\}$ 为等比数列，则 $\dfrac{A_{n+1}}{A_n}=\dfrac{a_{n+2}}{a_n}$ 为非零常数，当 $n$ 为奇数时，数列 $\left\{a_n\right\}$ 的奇数项构成等比数列；当 $n$ 为偶数时，数列 $\left\{a_n\right\}$ 的偶数项构成等比数列，且两者公比为同一非零常数，即公比相同．
题目 答案 解析 备注
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