查看数据源：5a249a91f25ac10009ad6d8b
若正四棱锥的底面边长和棱长都等于 $a$，则它的内切球的半径长是  \((\qquad)\)
A: $\dfrac{\sqrt3-1}{2}a$
B: $\dfrac{\sqrt2\left(\sqrt3-1\right)}{4}a$
C: $\dfrac{3-\sqrt3}{4}a$
D: $\dfrac{\sqrt2}{6}a$
【难度】
【出处】
2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    立体几何
    >
    空间几何体
【答案】
B
【解析】
由题可知内切球的球心在正四棱锥的高 $PE$ 上，设其为 $G$，且内切球与侧面 $PBC$ 相切于 $PF$ 上，设为 $H$，如图．由题可知$$EF=\dfrac{a}{2},PE=\dfrac{\sqrt2}{2}a,PF=\dfrac{\sqrt3}{2}a,$$因此有 $\sin\angle EPF=\dfrac{EF}{PF}=\dfrac{1}{\sqrt3}$，设 $GH=r$，则有$$\sin\angle EPF=\dfrac{r}{\dfrac{\sqrt2a}{2}-r}=\dfrac{1}{\sqrt3},$$解得内切球的半径长是 $\dfrac{\sqrt2\left(\sqrt3-1\right)}{4}a$．
题目 答案 解析 备注
0.121752s