已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$，则 $|z^2-z-2|$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学物理秋令营基础学业能力数学测试
【标注】
【答案】
A
【解析】
设 $z=\cos\theta+{\rm i}\sin \theta$，则\[\begin{split}
|z^2-z-2|&=|z-2|\cdot |z+1|\\
&=\sqrt{(\cos\theta-2)^2+\sin^2\theta}\cdot \sqrt{(\cos\theta+1)^2+\sin^2\theta}\\
&=\sqrt{(5-4\cos\theta)(2+2\cos\theta)}\\
&\leqslant\sqrt{\dfrac 12\cdot \left(\dfrac{(5-4\cos\theta)+(4+4\cos\theta)}{2}\right)^2}\\
&=\dfrac{9\sqrt 2}4,\end{split}\]等号当 $\cos\theta=\dfrac 18$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{9\sqrt 2}4$．
|z^2-z-2|&=|z-2|\cdot |z+1|\\
&=\sqrt{(\cos\theta-2)^2+\sin^2\theta}\cdot \sqrt{(\cos\theta+1)^2+\sin^2\theta}\\
&=\sqrt{(5-4\cos\theta)(2+2\cos\theta)}\\
&\leqslant\sqrt{\dfrac 12\cdot \left(\dfrac{(5-4\cos\theta)+(4+4\cos\theta)}{2}\right)^2}\\
&=\dfrac{9\sqrt 2}4,\end{split}\]等号当 $\cos\theta=\dfrac 18$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{9\sqrt 2}4$．
题目
答案
解析
备注
