已知等差数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n,a_5=5,S_5=15 $，则数列 $ \left\{\dfrac{1}{a_na_{n+1}}\right\} $ 的前 $ 100 $ 项和为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年高考大纲全国卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
设等差数列 $ \left\{ a_n \right\} $ 的公差为 $ d $，则依题意有\[ a_1+4d=5 ,\quad 5a_1+10d=15 ,\]由此解得\[ a_1=1,\quad d=1 , \]所以\[ \begin{split}a_n&=1+\left( n-1\right) \times 1=n , \\ {\dfrac{1}{a_na_{n+1}}}&={\dfrac{1}{n \left(n+1\right) }}={\dfrac{1}{n}}-{\dfrac{1}{n+1}} , \end{split} \]因此数列 $ \left\{\dfrac{1}{a_na_{n+1}}\right\} $ 的前 $ 100 $ 项和等于\[ 1-{\dfrac{1}{2}} + {\dfrac{1}{2}}-{\dfrac{1}{3}} +\cdots+ {\dfrac{1}{100}}-{\dfrac{1}{101}} =1-{\dfrac{1}{101}} ={\dfrac{100}{101}}. \]
题目
答案
解析
备注
