给定 $(0,1)$ 范围内的任意 $4$ 个不同的实数 $m_1,m_2,m_3,m_4$，若 $a,b\in\{m_1,m_2,m_3,m_4\}$，且满足条件 $\dfrac{\sqrt3}{2}<ab+\sqrt{1-a^2}\cdot\sqrt{1-b^2}<1$，则这样的有序数对 $(a,b)$ 的个数至少是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
设给定的 $4$ 个实数为$$m_i=\cos\alpha_i,\alpha_i\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right),i=1,2,3,4,$$将区间 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 分成 $3$ 个小区间$$\left(0,\dfrac{\pi}{6}\right],\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{3}\right],\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right),$$由抽屉原理可知，必有两个 $\alpha_i$ 在同一个区间内，不妨记为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$，于是有$$0<|\alpha_1-\alpha_2|<\dfrac{\pi}{6},$$因而$$\begin{split} \cos|\alpha_1-\alpha_2|&=\cos\alpha_1\cos\alpha_2+\sin\alpha_1\sin\alpha_2\\
&=ab+\sqrt{1-a^2}\sqrt{1-b^2},\end{split}$$所以$$\dfrac{\sqrt3}{2}<ab+\sqrt{1-a^2}\cdot\sqrt{1-b^2}<1,$$因此 $C$ 选项正确．
&=ab+\sqrt{1-a^2}\sqrt{1-b^2},\end{split}$$所以$$\dfrac{\sqrt3}{2}<ab+\sqrt{1-a^2}\cdot\sqrt{1-b^2}<1,$$因此 $C$ 选项正确．
题目
答案
解析
备注
