已知三棱锥 $ S-ABC $ 的所有顶点都在球 $ O $ 的球面上，$ \triangle ABC $ 是边长为 $ 1 $ 的正三角形，$ SC $ 为球 $ O $ 的直径，且 $ SC=2 $，则此棱锥的体积为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
如图，
据题意得\[CD ={\dfrac{2}{3}}\times {\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}}={\dfrac{{\sqrt{3}}}{3}} ,\]故\[ \begin{split}OD &=\sqrt { {CO} ^2- {CD} ^2}\\&=\sqrt{1- \left(\dfrac{\sqrt 3}{3}\right)^ 2 }\\&=\dfrac{\sqrt{6}}{3},\end{split}\]因此顶点 $ S $ 到底面 $ ABC $ 的距离为\[ h=2 OD ={\dfrac{2{\sqrt{6}}}{3}} ,\]故\[ \begin{split}V_{S-ABC}&={\dfrac{1}{3}}\times {\dfrac{{\sqrt{3}}}{4}}\times 1^2\times {\dfrac{2{\sqrt{6}}}{3}}\\&={\dfrac{{\sqrt{2}}}{6}} .\end{split}\]
据题意得\[CD ={\dfrac{2}{3}}\times {\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}}={\dfrac{{\sqrt{3}}}{3}} ,\]故\[ \begin{split}OD &=\sqrt { {CO} ^2- {CD} ^2}\\&=\sqrt{1- \left(\dfrac{\sqrt 3}{3}\right)^ 2 }\\&=\dfrac{\sqrt{6}}{3},\end{split}\]因此顶点 $ S $ 到底面 $ ABC $ 的距离为\[ h=2 OD ={\dfrac{2{\sqrt{6}}}{3}} ,\]故\[ \begin{split}V_{S-ABC}&={\dfrac{1}{3}}\times {\dfrac{{\sqrt{3}}}{4}}\times 1^2\times {\dfrac{2{\sqrt{6}}}{3}}\\&={\dfrac{{\sqrt{2}}}{6}} .\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
