如图，半径为 $ R $ 的半球 $ O $ 的底面圆 $ O $ 在平面 $ \alpha $ 内，过点 $ O $ 作平面 $ \alpha $ 的垂线交半球面于点 $ A $，过圆 $ O $ 的直径 $ CD $ 作与平面 $ \alpha $ 成 $ 45^\circ $ 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 $ \alpha $ 的距离最大的点为 $ B $，该交线上的一点 $ P $ 满足 $ \angle BOP=60^\circ $，则 $ A,P $ 两点间的球面距离为 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
由题意知 $\angle AOB=45^{\circ}$，$ \angle BOP=60^\circ $，且平面 $ AOB $ 与平面 $ BOC $ 垂直．根据三余弦定理有\[ \cos \angle AOP=\cos \angle AOB\cos \angle BOP=\cos 45^\circ \cos 60^\circ ={\dfrac{{\sqrt{2}}}{4}} ,\]所以 $ \angle AOP=\arccos {\dfrac{{\sqrt{2}}}{4}} $，所以 $ A,P $ 两点间的球面距离为 $ R \arccos {\dfrac{{\sqrt{2}}}{4}} $．
题目
答案
解析
备注
