半径为 $ R $ 的球 $O$ 的直径 $ AB $ 垂直于平面 $\alpha $，垂足为 $ B $，$\triangle BCD$ 是平面 $\alpha $ 内边长为 $ R $ 的正三角形，线段 $ AC $、$ AD $ 分别与球面交于点 $ M $、$ N $，那么 $ M$，$N $ 两点间的球面距离是 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
在 $ {\mathrm{Rt}}\triangle ABC$ 中，由 $ AB=2R$，$BC=R$，得\[AC = \sqrt 5 R,\]从而\[\cos \angle BAC=\dfrac {2\sqrt 5}{5}.\]由于 $ OA=OM$，则 $ \triangle AOM$ 为等腰三角形，从而\[ AM=2R\cos \angle BAC=\dfrac {4\sqrt 5}{5}R.\]因为 $ MN\parallel CD$，所以\[\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{MN}{CD},\]解得\[ MN = \dfrac{4}{5}R.\]在 $ \triangle OMN$ 中，由余弦定理得\[\cos \angle MON = \dfrac{{{R^2} + {R^2} - {{\left(\dfrac{4}{5}R\right)}^2}}}{2R \cdot R} = \dfrac{17}{25},\]从而\[\angle {MON} = \arccos \dfrac{17}{25}.\]故 $ M,N$ 间的球面距离为 $ R\arccos \dfrac{17}{25}$．
题目
答案
解析
备注
