正整数 $1,2,3,\cdots,n$ 的全排列 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 满足 $a_i\ne i$（$i=1,2,\cdots,n$）称为 $n$ 项更列，记 $n$ 项更列的个数为 $x_n$，下列命题正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
【答案】
AC
【解析】
设 $k$ 个元素的错排有 $D(k)$ 种，我们来考虑 $D(n)$ 满足的递推关系：
$n$ 个元素的错排时，先把 $n$ 放在某个位置上，有 $n-1$ 种方法，比如把 $n$ 第 $i$ 个位置，即 $a_i=n$：再考虑剩下 $n-1$ 个元素如何排列，有两种情况：一种是 $a_n=i$，此时只需要将剩下的 $n-2$ 个元素错排即可，有 $D(n-2)$ 种方法；另一种是 $a_n\ne i$，此时把第 $n$ 个位置等同于第 $i$ 个位置，直接对应 $n-1$ 个元素的错排，有 $D(n-1)$ 种方法，所以有递推公式\[D(n)=(n-1)[D(n-2)+D(n-1)].\]令 $a_n=\dfrac {D(n)}{n!}$，则有\[na_n=(n-1)a_{n-1}+a_{n-2},\]从而有\[a_n-a_{n-1}=-\dfrac 1n(a_{n-1}-a_{n-2}),a_1=0,a_2=\dfrac 12.\]由累乘法知\[a_n-a_{n-1}=\left(-\dfrac 1n\right)\cdot\left(-\dfrac 1{n-1}\right)\cdots\left(-\dfrac 13\right)(a_2-a_1)=\dfrac {(-1)^n}{n!}.\]于是由累加法知\[a_n=\dfrac 1{2!}-\dfrac 1{3!}+\dfrac 1{4!}-\cdots+\dfrac {(-1)^n}{n!},\]于是有\[D(n)=n!\cdot a_n=n!\left[\dfrac {1}{2!}-\dfrac 1{3!}+\dfrac {1}{4!}-\cdots+(-1)^n\dfrac {1}{n!}\right].\]于是选项 AC 正确，选项 D错误．
对于选项 B，有\[x_3=3!-1=5,\]而事实上 $x_3=2$，于是选项 B 错误．
$n$ 个元素的错排时，先把 $n$ 放在某个位置上，有 $n-1$ 种方法，比如把 $n$ 第 $i$ 个位置，即 $a_i=n$：再考虑剩下 $n-1$ 个元素如何排列，有两种情况：一种是 $a_n=i$，此时只需要将剩下的 $n-2$ 个元素错排即可，有 $D(n-2)$ 种方法；另一种是 $a_n\ne i$，此时把第 $n$ 个位置等同于第 $i$ 个位置，直接对应 $n-1$ 个元素的错排，有 $D(n-1)$ 种方法，所以有递推公式\[D(n)=(n-1)[D(n-2)+D(n-1)].\]令 $a_n=\dfrac {D(n)}{n!}$，则有\[na_n=(n-1)a_{n-1}+a_{n-2},\]从而有\[a_n-a_{n-1}=-\dfrac 1n(a_{n-1}-a_{n-2}),a_1=0,a_2=\dfrac 12.\]由累乘法知\[a_n-a_{n-1}=\left(-\dfrac 1n\right)\cdot\left(-\dfrac 1{n-1}\right)\cdots\left(-\dfrac 13\right)(a_2-a_1)=\dfrac {(-1)^n}{n!}.\]于是由累加法知\[a_n=\dfrac 1{2!}-\dfrac 1{3!}+\dfrac 1{4!}-\cdots+\dfrac {(-1)^n}{n!},\]于是有\[D(n)=n!\cdot a_n=n!\left[\dfrac {1}{2!}-\dfrac 1{3!}+\dfrac {1}{4!}-\cdots+(-1)^n\dfrac {1}{n!}\right].\]于是选项 AC 正确，选项 D错误．
对于选项 B，有\[x_3=3!-1=5,\]而事实上 $x_3=2$，于是选项 B 错误．
题目
答案
解析
备注
