查看数据源：5a3dfa68fab70800079178e8
棱长均为 $1$ 的正四面体 $ABCD$ 中，$M$ 为 $AC$ 的中点，$P$ 是 $DM$ 上的动点，则 $PA+PB$ 的最小值为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{\sqrt 3+1}2$
B: $\dfrac{\sqrt 3+3}3$
C: $\sqrt{\dfrac{3+\sqrt 3}3}$
D: $\sqrt{\dfrac{3+\sqrt 6}3}$
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    立体几何
    >
    空间计算
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何体
    >
    空间几何体的形体分析
    >
    空间几何体的表面距离
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    余弦定理
【答案】
D
【解析】
将 $\triangle DAM$ 翻折到与 $\triangle DBM$ 共面．由于\[\cos\angle MDB=\dfrac{1}{\sqrt 3},\angle MDA=\dfrac{\pi}6,\]于是在翻折后有\[\cos\angle ADB=\dfrac 12-\dfrac{1}{\sqrt 6},\]于是在翻折后的 $\triangle ADB$ 中应用余弦定理，可得 $PA+PB$ 的最小值为\[\sqrt{DA^2+DB^2-2\cdot DA\cdot DB\cdot \cos\angle ADB}=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt 6}3}.\]
题目 答案 解析 备注
0.120004s