$\vec {{a}} $、$\vec {{b}} $ 为非零向量．" $\vec {{a}} \perp \vec {{b}}$ " 是 " 函数 $f\left(x\right) = \left(x\vec {{a}} + \vec {{b}}\right)\cdot \left(x\vec {{b}} -\vec {{a}}\right)$ 为一次函数 " 的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年高考北京卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
\[ f(x)=(x \vec a+\vec b)\cdot (x\vec b-\vec a)=x\vec a\cdot \vec b+x(\vec b^2-\vec a^2)-\vec a\cdot \vec b. \]若 $\vec a\perp \vec b $，则\[ f(x)=x(\vec b^2-\vec a^2), \]只有当 $\vec b^2-\vec a^2\neq 0 $ 时，函数 $ f(x) $ 才是一次函数；
若函数 $ f(x) $ 是一次函数，那么\[\vec a\cdot \vec b=0 ,\vec b^2-\vec a^2\neq 0.\]故 " $\vec a\perp \vec b $ " 是" 函数 $f\left(x\right) = \left(x\vec {{a}} + \vec {{b}}\right)\cdot \left(x\vec {{b}} -\vec {{a}}\right)$ 为一次函数 " 的必要而不充分条件．
若函数 $ f(x) $ 是一次函数，那么\[\vec a\cdot \vec b=0 ,\vec b^2-\vec a^2\neq 0.\]故 " $\vec a\perp \vec b $ " 是" 函数 $f\left(x\right) = \left(x\vec {{a}} + \vec {{b}}\right)\cdot \left(x\vec {{b}} -\vec {{a}}\right)$ 为一次函数 " 的必要而不充分条件．
题目
答案
解析
备注
