曲线 $y = {{\mathrm e }^{ - 2x}} + 1$ 在点 $\left(0,2\right)$ 处的切线与直线 $y = 0$ 和 $y = x$ 围成的三角形的面积为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考大纲全国卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
$\because$ $y' = - 2{{ \mathrm e }^{ - 2x}}$，$\therefore$ 曲线 $y = {{\mathrm e }^{ - 2x}} + 1$ 在点 $\left(0,2\right)$ 处的切线的斜率 $k = - 2$，故切线方程是 $y = - 2x + 2$．
在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为 $\left(0,0\right)$、$\left(1,0\right)$、$\left( {\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}} \right)$．
$\therefore$ 所求三角形的面积是 $S = \dfrac{1}{2} \times 1 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$．
在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为 $\left(0,0\right)$、$\left(1,0\right)$、$\left( {\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}} \right)$．
$\therefore$ 所求三角形的面积是 $S = \dfrac{1}{2} \times 1 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$．
题目
答案
解析
备注
