设向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c $ 满足 $\left|\overrightarrow a \right| = \left|\overrightarrow b \right| = 1,\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \dfrac{1}{2},\left\langle {\overrightarrow a - \overrightarrow c ,\overrightarrow b - \overrightarrow c } \right\rangle = 60^\circ $，则 $\left| {\overrightarrow c } \right|$ 的最大值等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
设 $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a $，$\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b $，$\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c $，如图，
则 $\overrightarrow {CB} = \overrightarrow a - \overrightarrow c $，$\overrightarrow {CD} = \overrightarrow b - \overrightarrow c $，
∴ $\angle BAD = 120^\circ $，$\angle BCD = 60^\circ $，$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ $，
∴ $A$，$B$，$C$，$D$ 四点共圆，因为 $\triangle ABD$ 的外接圆大小确定，点 $C$ 在优弧 $BD$ 上运动，
所以当 $AC$ 为圆的直径时，$ \left|\overrightarrow c \right|$ 最大，最大值为 $2$．
则 $\overrightarrow {CB} = \overrightarrow a - \overrightarrow c $，$\overrightarrow {CD} = \overrightarrow b - \overrightarrow c $，∴ $\angle BAD = 120^\circ $，$\angle BCD = 60^\circ $，$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ $，
∴ $A$，$B$，$C$，$D$ 四点共圆，因为 $\triangle ABD$ 的外接圆大小确定，点 $C$ 在优弧 $BD$ 上运动，
所以当 $AC$ 为圆的直径时，$ \left|\overrightarrow c \right|$ 最大，最大值为 $2$．
题目
答案
解析
备注
