查看数据源：5a3e1adefab708000791790a
已知 $\Omega=\left\{z\in \mathbb C\mid 2z\cdot \overline z+(1+\sqrt 3{\rm i})z+(1-\sqrt 3{\rm i})\overline z\leqslant 0\right\}$，则下列命题正确的有 \((\qquad)\)
A: $\Omega$ 表示椭圆
B: $\Omega$ 表示圆
C: $\Omega$ 围成的面积是 $\pi$
D: 当 $z\in \Omega$ 时，$|z-1+\sqrt 3{\rm i}|$ 的最大值与最小值之和为 $8$
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    复数
    >
    复数
  • 知识点
    >
    复数
    >
    复数的运算
    >
    共轭复数
  • 知识点
    >
    复数
    >
    复数的运算
    >
    复数的代数形式
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    圆
    >
    圆的方程
    >
    圆的标准方程
【答案】
BC
【解析】
设 $z=x+y{\rm i}$，则不等式\[2z\cdot \overline z+(1+\sqrt 3{\rm i})z+(1-\sqrt 3{\rm i})\overline z\leqslant 0\]即\[2\left(x^2+y^2\right)+2(x-\sqrt 3y)\leqslant 0,\]也即\[\left(x+\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac{\sqrt 3}2\right)^2\leqslant 1,\]于是 $\Omega$ 表示圆心为 $\left(-\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，半径为 $1$ 的圆，且其围成的面积为 $\pi$．$|z-1+\sqrt 3{\rm i}|$ 表示点 $(1,-\sqrt 3)$ 到此圆及其内部的的点的距离，其最大值为 $4$，最小值为 $2$．因此选项 AD 错误，选项 BC 正确．
题目 答案 解析 备注
0.116905s