已知平行四边形 $ ABCD $ 的三个顶点为 $ A\left(-1,2\right) $、$ B\left(3,4\right) $、$ C\left(4,-2\right) $，点 $ \left(x,y\right) $ 在平行四边形 $ ABCD $ 的内部，则 $ z=2x-5y $ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年高考新课标全国卷（文）
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $ D\left(a,b\right)$，则 $\overrightarrow {AD} = \left(a + 1,b - 2\right)$，$\overrightarrow {BC} = \left(1, - 6\right)$．
由 $ ABCD $ 为平行四边形，得 $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} $，即 $ \begin{cases}a+1=1,\\b-2=-6,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a = 0,\\b = - 4,\end{cases}$ 从而 $ D\left(0,-4\right)$．
当直线 $y = \dfrac{2}{5}x - \dfrac{z}{5}$ 过点 $ B\left(3,4\right)$ 时，$ z=2\times 3-5\times 4=-14$；
当直线 $y = \dfrac{2}{5}x - \dfrac{z}{5}$ 过点 $ D\left(0,-4\right)$ 时，$ z=2\times 0-5\times \left(-4\right)=20$，
故 $z$ 的取值范围为 $\left( - 14,20\right)$．
由 $ ABCD $ 为平行四边形，得 $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} $，即 $ \begin{cases}a+1=1,\\b-2=-6,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a = 0,\\b = - 4,\end{cases}$ 从而 $ D\left(0,-4\right)$．
当直线 $y = \dfrac{2}{5}x - \dfrac{z}{5}$ 过点 $ B\left(3,4\right)$ 时，$ z=2\times 3-5\times 4=-14$；
当直线 $y = \dfrac{2}{5}x - \dfrac{z}{5}$ 过点 $ D\left(0,-4\right)$ 时，$ z=2\times 0-5\times \left(-4\right)=20$，
故 $z$ 的取值范围为 $\left( - 14,20\right)$．
题目
答案
解析
备注
